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多位数乘除法教学与训练方法的探讨
发布日期: 2014-10-8 13:32:37 点击: 4806

在前两次的学术研讨会上,我对珠心算加减法、一口清的教学与训练进行了详细的介绍,受到了大家的一致好评,很多老师在教学实践中进行了应用,收到了较好的效果。为了珠心算教学体系的完整性,结合自己的教学实践,今天我再把多位数乘除法的有关教学和训练方法与大家进行交流。不当之处请批评指正!


一、要确定好多位数乘除法的学习目标


多位数乘除法的学习,首先要确定好学习的目标和方向,即是为了培养普及型学生,还是培养优秀选手的学生。如果只是培养普及型的学生,我们在基础知识的学习阶段,主要学习掌握九九口诀(小九九口诀或大九九口诀)的知识就可以了。如果要培养优秀选手的学生,就要学习掌握一口清的知识,才能对今后多位数乘除法的学习,打下坚实的基础。其中的道理大家是很容易理解的。


应用九九口诀解决多位数乘除法的问题,很多教材都介绍的非常详细,在座的老师也都掌握这方面的知识,所以在此就不给大家介绍了。我所介绍的主要是应用一口清的知识如何解决多位数乘除法学习。


一口清教学与训练的内容知识,我在2010年桂林研讨会上给大家进行了介绍,同年《珠算与珠心算》杂志又进行了刊登。在此不再赘述。


二、多位数乘除法的基本原理


多位数乘除法的计算方法,是根据多位数乘除法的计算法则,采取多位数加减法的运算形式,而完成累加、递减的过程。因此,我们要进行多位数乘除法的学习,就要具备两个基础知识,一口清和多位数加减法能力。即乘法为一口清的累加、除法为一口清的递减。一个“累”字和一个“递”字,又决定了它与纯粹加减法的区别。这个区别的原因就是由多位数乘除法的运算法则而决定的。乘法为“首积进位本档加,首积不进退档加”。除法为“数大隔位商,隔档减积数,数小挨位商,挨档减积数”。因此出现了“同位相加减”和“错位相加减”的差异。所以说,多位数乘除法的学习,是一个综合知识的分析、判断、理解、应用的过程。


三、如何进行乘法的教学?


在进行乘法教学时,除了具备上述两大基础知识外,还要根据它的运算法则,掌握衍生出来的基础知识。如什么叫首积?什么叫首积进位?什么叫首积不进位?那个是本档?那个是退档?是由谁来决定的?什么叫数位?什么叫位数?位数为几种?等等。只有解决好这些基础知识,才能顺利地完成一道乘法的计算。


四、如何破解乘法的运算法则?


首积:当每个乘数与被乘数相乘时,所得乘积的第一个数字,即积的首位数。简称“首积”。


首积进位:积的首位数比被乘数的首位数小时,称为首积进位。简称“积首<被首”。


首积不进:积的首位数比被乘数的首位数大时,称为首积进位。“积首>被首”。


如果出现完全相等的现象,也就当乘数中有“1”的时候。又该如何处理?


什么是本档?什么是退档?要结合算盘进行对比指导。它的位置主要是由乘数所在的位置来决定的。在乘数中从左向右数起,每个乘数在第几位上,那么它的本档就在算盘左起的第几个档位上。即当乘数在第一位时,那么算盘的第一档就是它的本档、第二档就是它的退档。……


什么是本档加?什么是退档加?即当乘数在第一位时,有进位(积首<被首),那么就在算盘的第一档(本档)加、没有进位(积首>被首),那么就在第二档(退档)加。……


五、如何解决乘法的定位问题?


根据乘法运算法则的破解,我们采用空盘前乘法的形式,已经能够计算一般的乘法试题了。但是对于一些特殊的乘法试题,我们还需要应用新的知识来解决。如25x4=100、250x4=1000、3.64x0.25=0.91等此类问题。因为在算盘上即体现不出积的后面是否有“0”,而且有几个“0”?也体现不出小数点所在的位置。那么如何解决此类问题呢?这就需要在会算的同时,还要掌握乘法的定位方法,才能使这些问题得到圆满的解决。


乘法的定位方法,通常采用的是公式定位法和固定个位法,我们所介绍的是结合算盘和公式定位法来进行定位,更简洁方便。我把它称为“盘上公式定位法”。即根据算盘的第一档位上是否有数来进行判断。第一档位上有数,就用公式[一]:M+N,没有数就用公式[二]:M+N-1,在运算过程中很自然的观察出来第一档上是否有数,从而快速地解决积的定位问题。


六、如何正确区分位数问题


在乘除法定位问题中,还要正确地解决被乘数、被除数与乘数、除数的位数问题。即正确区分正位数、0位数、负位数等相关知识。


正位数:整数和带小数都是正位数。即一个数的第一个有效数字在小数点前有几位,该数的位数就是正几位。如870是正三(+3)位;15.78是正二(+2)位。


0位数:小数点与它的第一个有效数字之间没有0的纯小数。即一个数的第一个有效数字在小数点后一位,这样的数都统称为0位。如0.871和0.1054都是零(0)位。


负位数:小数点与它的第一个有效数字之间有0的纯小数。即一个数的第一个有效数字在小数点后有0的数,这样的数都统称为负位数,有几个0,就称为负几位。如0.071是负一(-1)位;0.0058是负二(-2)位。


这里既然有正、负数之分,在进行定位计算时,还要注意有理数的计算,确保定位的准确性。


七、计算一道乘法题的基本步骤


1、确定第一档位:为了简便明了,就利用算盘左起的第一个档位,为第一个乘数首积进位档的档位。


2、计算一口清:通过心算求出每个乘数与被乘数的乘积。变“九九口诀”为群积。


3、比较大小:将每次一口清乘积的首位数与被乘数的首位数相比较,判断首积进位还是不进位,从而确定是本档加还是退档加。


4、继续累加:根据乘数所在的位置,将所有乘数与被乘数的一口清进行累加,完成每一步的运算。


5、积的定位:完成所有的运算后,根据第一档上是否有数来决定应该用公式[一] M+N,还是用公式[二] M+N-1来进行定位。


6、抄写答数:根据定位的计算,求得积的末尾有几个0或者小数点所在的位置,按四舍五入的办法,正确地写出结果。


所以计算一道乘法题需要六步:即确定第一档→一口清→比较→累加→定位→写积


八、如何进行除法的教学


在进行除法教学时,除了具备上述两大基础知识外,还要根据它的运算法则,掌握在法则中衍生出来的基础知识。如什么叫数大?什么叫数小?什么叫隔位商?什么叫挨位商?等等。只有解决好这些基础知识,才能顺利地完成一道除法的计算。


九、如何破解除法的运算法则


除法为“数大隔位商,隔档减积数,数小挨位商,挨档减积数”。法则是珠算方面的语言叙述,为了使学生容易理解接受,把它变成数学方面的语言叙述。即改为“够除隔位商,隔档减积数,不够除挨位商,挨档减积数”。这样就化解了数大、数小的问题。


数大(够除):被除数的首位数比除数的首位数大时,简称“被首>除首”。


数小(不够除):除数的首位数比除数的首位数小时,称为首积进位。简称“被首<除首”


如果出现完全相等的现象,也就当被除数和除数出现完全相等的时候。又该如何处理?


十、如何解决除法的定位问题


同样除法的定位方法也主要包括,公式定位法和固定个位法,为了便于和乘法的定位方法区别开,除法的定位方法,我们采取固定个位法,也称作算前定位法。即先确定好商的个位,那么其它的数位就自然而然的排列出来。


采取固定个位法是一种很简单的定位形式,但在运算过程中,关键的一步是如何将被除算拨入算盘,通常我们所说的“布数”。布数的办法是通过计算求得的,即被除数的位数―除算的位数―1。写成公式=a―b―1或 a―(b+1)。结果是几,就在第几档位上开始布置被除数。这里又出现了一个档位的问题,如何破解数位问题和档位问题,这是除法运算的重要一环。


数位问题和档位问题是一组对应的关系,在应用过程中,又有各自的侧重,即档位主要用于解决被除数首位数拨珠的问题,数位主要是用于解决商的问题,。


……(+5档)(+4档)(+3档)(+2档)(+1档)(0档)(-1档)(-2档)……(用于布数)




…… 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位……(用于定商)


因此,牢记它们的对应关系,是正确解决多位数除法过程中,迈出的关键一步。


十一、计算一道除法题的基本步骤


1、确定商的个位:采取固定个位方法,确定商的个位,算盘左起第二个分节点定为商的个位。


2、确定被首拨珠档位:通过公式=a―b―1或 a―(b+1)的心算,求出被除数首位数拨珠的档位,并进行拨被除数。


3、比较大小:即观察够除还是不够除。够除就在被除数的首位数隔位立商,不够除就在被除数的首位数挨位立商。


4、进行试商:试算除数与几的“一口清”最接近或等于被除数,这个“几”,就叫做估商或试商。


5、减积数,将试出的商与除数用一口清计算,心算得出乘积,简称“积数”。在被除数中按照递减的方法减积数,完成一次计算。


6、继续运算:通过新的被除数再次与除数比较大小、试商、立商、心算积数、减积数……直至达到题中要求为止。如果是小数除法,按照四舍五入的方法进行取舍,保留到相应位数。


所以计算一道乘法题需要六步:即商定位→布数→比较→立商→减积数→写商。


十二、多位数乘除法的训练方法


1、既然选择了一口清的学习,一定要强化一口清的训练,把它作为基础知识的重要内容,不断巩固提高。为更好地立商,还要强调一口清逆运算的练习。


2、加强珠算加减法的训练,要做到坚持不懈。 对错位累加和错位递减的运算形式,要有意的进行训练,避免与真正加减法混淆,促进多位数乘除法找准相应的档位。


3、突破重点题型的训练,强调各类题型的综合应用,提高学生对解决问题的分析、判断能力。


4、乘法中强调学生记忆被乘数,眼看乘数,边观察边计算每一步的一口清,增强判断首积进位本档加,首积不进退档加的反应程度,快速找出累加的档位。


5、根据第一档是否有数的观察,快速地看准被乘数和乘数的位数,根据公式[一]或者公式[二],正确的求出积的位数,表明积末尾“0”的个数和小数点所在的位置。


6、有意训练学生,,把被乘数和乘数颠倒位置进行计算,并自我检验结果的正确与否。


7、要由浅入深地进行乘除法的训练,如2位x2位、2位x3位、3位x2位……;÷2位=2位、÷2位=3位、÷3位=2位……逐渐到达更高的位数。


8、除法中强调学生记忆除数,眼看被除数,边立商边计算每一步的一口清,并在被除数中快速地减积数。


9、估商要准确,避免偏大或偏小,做到商与除算的一口清、被除数减积数都能正确无误。


观察“够除”与“不够除”,后,严格按照“够除隔位商”,“不够除挨位商”的法则,进行立商、进行减积数。


10、在除法中要强调左手立商,右手减积数的默契配合,同样一道乘除法计算完成后,一定强调右手写答案的同时,左手清盘。做到左右手的协调与配合。


11、乘法与除法做到同步练习,培养学生不断处理各种矛盾问题的能力。在强调看算训练的同时,也要强化念算的训练,培养学生在头脑里快速解决复杂问题的水平,同时提高他们的记忆力。


总之,多位数乘除法的教学,最终都要归结到加减法的范畴之内,即乘法转化为一口清的累加;除法转化为一口清的递减。在学练过程中,也就化繁为简、化难为易了。使整个运算真正地发挥出一口清的重要作用,快速、准确、一气呵成的效果。


 

    来    源:吉林省珠算心算协会


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